MATEMATICAS

numero natural:



Un número natural es cualquiera de los números que se usan para contar los elementos de un conjunto. Reciben ese nombre porque fueron los primeros que utilizó el ser humano para contar objetos.

Definiciones:

  • La Real Academia Española los define como "Cada uno de los elementos de la sucesión 0, 1, 2, 3..." 
  • Es el conjunto de los números enteros no negativos.
  • Un número natural es un símbolo que indica una cantidad.

El conjunto de los números naturales se representa por \scriptstyle \mathbb{N} y corresponde al siguiente conjunto numérico:
\mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, \dots\}
Los números naturales son un conjunto cerrado para las operaciones de la adición y la multiplicación, ya que al operar con cualquiera de sus elementos, resulta siempre un número perteneciente a \scriptstyle \mathbb{N}.

El cero y la definición de los números naturales:

Existe una controversia acerca de la inclusión del cero dentro del conjunto de los números naturales. De ahí que no exista acuerdo en la literatura y coexistan definiciones contradictorias de los números naturales. De hecho, algunos matemáticos (especialmente los de la Teoría de Números) prefieren no reconocer el cero como un número natural; otros, especialmente los de Teoría de conjuntos, Lógica e Informática, sostienen la postura opuesta.
Históricamente el cero no se consideraba número natural. Entre otros motivos porque no tenía una representación natural: cero dedos, cero vacas, etc. podrían considerarse puros constructos mentales.
Más recientemente, desde el punto de vista de los fundamentos lógicos de las matemáticas y de algunas aplicaciones, la situación adquirió una perspectiva nueva que hizo más naturalla inclusión del cero dentro del conjunto de los números naturales. Por ejemplo, desde el punto de vista de la teoría de conjuntos, el cero se relaciona con el número de elementos del conjunto vacío. Y en informática, con un estado de la memoria en que todos los bits se encuentran en estado off.
De ahí que la inclusión del cero dentro del conjunto de los números naturales sea cuestión de contexto y de convenio, observándose una tendencia creciente a considerarlo parte de él.

números decimales:
Los números decimales son aquellos que tienen parte decimal, por oposición a los números enteros que carecen de ella.





Entre los números decimales podemos diferenciar los racionales, que se pueden expresar mediante una fracción de dos números enteros y los irracionales, si no se pueden expresar con una fracción de dos números enteros.
Entre los números racionales podemos distinguir los decimales exactos, si tienen un número de cifras decimales finitas, y los periódicos si tienen una parte periódica que se repite indefinidamente.
Los números periódicos pueden ser periódicos puros si la parte decimal esta formada únicamente por un periodo que se repite indefinidamente, y periódicos mixtos si en la parte decimal hay una parte no periódica y otra periódica.

Notación Decimal:


En la lengua española en la actualidad se emplean básicamente tres formas de anotar un número con parte decimal, según el signo empleado como separador decimal:
El punto decimal: se emplea un punto(.) para separar la parte entera de la decimal, este método es el utilizado en las calculadoras electrónicas y en los ordenadores, rara vez se utiliza en la notación de cifras manualmente.
3.141592 \;
La coma decimal: se emplea una coma(,) como separador, esta forma en común en las publicaciones y se utiliza también en las notaciones manuales.
3,141592 \;
El apóstrofe decimal: el apóstrofe(') en ocasiones también llamado coma decimal es la forma usual de separar la parte decimal de un número en las notaciones a mano.
3'141592 \;
En todos los casos, las cifras decimales, no se separan en grupos con espacios en blanco u otro signo, sino que se escriben seguidas, sea cual sea el número de cifras decimales que forme la parte decimal del número en cuestión.

números racionales:

Si una cantidad se puede expresar como la fracción de dos enteros es un número racional:
\cfrac{a}{b} = c    

siendo a y b números enteros, según los valores de a y b tendremos la forma de c.


Racionales exactos

Si la división entre a y b finaliza con un resto cero, el número de cifras decimales de c es finito.
Partiendo de un número racional exacto, para obtener la fracción equivalente es suficiente con indicar por numerador el número racional sin separador decimal, y por denominador el uno seguido de tantos ceros como cifras tiene la parte decimal, esta fracción se puede simplificar si es posible, veamos un ejemplo:
Dado el número racional exacto:
12,3456 \;
Obtenemos la fracción:
12,3456 = \cfrac{123_{.} 456}{10_{.} 000}
Que simplificando tendremo

Racionales periódicos:

Si partiendo de un número racional representado por la fracción:

\cfrac{a}{b}
La división entre a y b no da por resto cero, obtendremos una serie infinita de decimales, que presentara un patrón o periodo que se repetirá indefinidamente, si toda la parte decimal esta formada por ese patrón tendremos un número decimal periódico puro, si el patrón empieza a repetirse tras unas cifras decimales tendremos un número decimal periódico mixto.

]Decimal periódico puro
Partiendo de un número decimal cuya parte decimal se repite periódicamente, la parte periódica la señalamos con la línea horizontal superior:
12,\overline{3456} \;
para obtener la fracción equivalente, tomaremos la parte entera más la parte decimal dividida por tantos nueves como cifras tiene la parte decimal periódica:
12,\overline{3456} = 12 + \cfrac{3456}{9999}
Haciendo las operaciones:
12,\overline{3456} = 12 + \cfrac{3456}{9999} = \cfrac{12 \cdot 9999 + 3456}{9999} = \cfrac{123444}{9999}
Que simplificando la fracción, tendremos:
12,\overline{3456} = \cfrac{123444}{9999} = \cfrac{13716}{1111}
Para comprobar el resultado es suficiente con realizar la división de la fracción resultante.]

Decimal periódico mixto
Dado un número decimal en cuya parte decimal hay una parte no periódica y otra periódica, y señalando la parte periódica la una línea horizontal superior.
12,23\overline{56} \;
Podemos obtener la fracción equivalente sumando a la parte entera, la no periódica dividida entre la unidad seguida de tantos ceros como cifras tiene la parte no periódica, más la parte periódica dividida entre tantos nueves como cifras tiene la parte periódica seguidos de tantos ceros como cifras tiene la parte decimal no periódica.
12,34\overline{56} = 12 + \cfrac{34}{100} + \cfrac{56}{9900}
operando, tendremos:
12,34\overline{56} = 12 + \cfrac{34}{100} + \cfrac{56}{9900} = \cfrac{12 \cdot 9900}{9900} + \cfrac{34 \cdot 99}{9900} + \cfrac{56}{9900}
con lo que tenemos:
\cfrac{12 \cdot 9900 + 34 \cdot 99 + 56}{9900} = \cfrac{122222}{9900}
la fracción obtenida se puede simplificar:
12,34\overline{56} = \cfrac{122222}{9900} = \cfrac{61111}{4950}
La comprobación del resultado se puede hacer realizando la división.

]


Números irracionales

Artículo principal: Número irracional
Los números irracionales presentan una parte decimal que no se repite periódicamente, y no pueden ser representados por una fracción entre dos números enteros, algunos de estos números son:
\pi \, , \; e \, , \; \sqrt{2} \, , \; \sqrt{3} \, , \; \dots
La raíz cuadrada de dos, número irracional
Artículo principal: Raíz cuadrada de 2
La existencia de los números irracionales, si bien es conocida desde Pitágoras, no es tan intuitiva como la de los números racionales, es fácil de entender que si un número entero lo dividimos entre otro, el resultado es un número decimal, pero que existan números decimales que no puedan expresarse como la relación entre dos números enteros no parece tan obvio, por ello vamos a ver un ejemplo de número irracional, y analizarlo, tomaremos la raíz cuadrada de dos.
\sqrt{2}
para demostrar que es un número irracional, trataremos de encontrar unos valores enteros: a y b, cuya relación sea la raíz de dos:
\cfrac{a}{b} = \sqrt{2}
Previamente vamos ha hacer unas consideraciones:
  • si n es un número entero par, su cuadrado es un número entero par:
n = 2 \; i \to \quad n^2 = {(2 \; i)}^2 \to \quad n^2 = 4 \; i^2
  • si n es un número entero impar, su cuadrado es un número entero impar:
n = 2 \; i +1 \to \quad n^2 = {(2 \; i +1)}^2 \to \quad n^2 = 4 \; i^2 +4\; i + 1 \to \quad n^2 = 4 \; i(i +1) + 1
Sea a/b una fracción irreducible, o en su caso se simplifica hasta irreducible, y suponemos que:
\cfrac{a}{b} = \sqrt{2}
entonces:
\cfrac{a}{b} = \sqrt{2} \to \quad {\left ( \cfrac{a}{b} \right )}^2 = 2 \to \quad \cfrac{a^2}{b^2} = 2 \to \quad a^2 = 2 \; b^2
si el cuadrado de b es un número entero y a es dos veces ese número, a cuadrado es par, y por tanto a también es par, por lo que podemos decir:
\left . \begin{array}{l} {a}^2 = 2 \; b^2 \\ a = 2 \; i \end{array} \right \} \to \quad {(2 \; i)}^2 = 2 \; b^2
siendo i un número entero, operando:
{(2 \; i)}^2 = 2 \; b^2 \to \quad 4 \; i^2 = 2 \; b^2 \to \quad 2 \; i^2 = b^2
con lo que tenemos que b cuadrado es un número par, si a y b son pares se pueden simplificar por dos, luego la fracción a/b es reducible, en contra del planteamiento inicial.
En conclusión, no existen dos números a y b, que formen una fracción irreducible y cuyo valor sea la raíz de dos, esto es la raíz de dos es un número irracional, hemos visto un ejemplo pero esta demostrada la existencia de infinitos números irracionales que complementa a los racionales dando lugar a los números reales.
Un número irracional no puede representarse por la fracción de dos enteros, pero se puede encontrar un número racional tan próximo como se quiera, en el caso de la raíz de dos, donde:
\cfrac{a_i}{b_i}
es un valor próximo a raíz de dos, la fracción:
\cfrac{a_{(i+1)}}{b_{(i+1)}} = \cfrac{a_i + 2 \; b_i}{a_i + b_i}
estará más próxima a raíz de dos, esta función la podemos representar:
\sqrt{2} \approx \cfrac{a_i}{b_i} = \left \{ \begin{array}{lccl} si & i = 0 & \to & \left \{ \begin{array}{l} a_i = 1 \\ b_i =1 \end{array} \right . \\ \\ si & i > 0 & \to & \left \{ \begin{array}{l} a_i = a_{(i-1)} + 2 \cdot b_{(i-1)} \\ b_i = a_{(i-1)} + b_{(i-1)} \end{array} \right . \end{array} \right .
En la tabla podemos ver los resultados para los primeros veinte valores:
\begin{array}{|r|rr|l|} \hline i & a_i & b_i & \cfrac{a_i}{b_i}\\ \hline 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 2 & 1,5 \\ 2 & 7 & 5 & 1,4 \\ 3 & 17 & 12 & 1,41666666666667 \\ 4 & 41 & 29 & 1,41379310344828 \\ 5 & 99 & 70 & 1,41428571428571 \\ 6 & 239 & 169 & 1,41420118343195 \\ 7 & 577 & 408 & 1,41421568627451 \\ 8 & 1_{.} 393 & 985 & 1,41421319796954 \\ 9 & 3_{.} 363 & 2_{.} 378 & 1,41421362489487 \\ 10 & 8_{.} 119 & 5_{.} 741 & 1,41421355164605 \\ 11 & 19_{.} 601 & 13_{.} 860 & 1,41421356421356 \\ 12 & 47_{.} 321 & 33_{.} 461 & 1,41421356205732 \\ 13 & 114_{.} 243 & 80_{.} 782 & 1,41421356242727 \\ 14 & 275_{.} 807 & 195_{.} 025 & 1,41421356236380 \\ 15 & 665_{.} 857 & 470_{.} 832 & 1,41421356237469 \\ 16 & 1_{_{1}} 607_{.} 521 & 1_{_{1}} 136_{.} 689 & 1,41421356237282 \\ 17 & 3_{_{1}} 880_{.} 899 & 2_{_{1}} 744_{.} 210 & 1,41421356237314 \\ 18 & 9_{_{1}} 369_{.} 319 & 6_{_{1}} 625_{.} 109 & 1,41421356237309 \\ 19 & 22_{_{1}} 619_{.} 537 & 15_{_{1}} 994_{.} 428 & 1,41421356237310 \\ 20 & 54_{_{1}} 608_{.} 393 & 38_{_{1}} 613_{.} 965 & 1,41421356237309 \\ \hline \end{array}
Obteniéndose progresivamente valores más próximos a raíz de dos. La aproximación con veinte cifras decimales seria:
\sqrt{2} \approx 1,41421356237309504880
En las operaciones algebraicas los números irracionales no se expresan en forma decimal, pero en el Análisis numérico una aproximación suficiente a su valor suele ser suficiente, por ejemplo si tenemos un cuadrado y queremos calcular su diagonal, sabemos que la longitud del lado por raíz de dos, nos da este resultado, el número de cifras decimales que debemos tomar será el suficiente para que el resultado final sea correcto para el propósito de que se trate.

]El sistema decimal

El sistema decimal es la división de unidades contables con base en los múltiplos del número diez. Bajo el esquema mencionado, las fracciones de este sistema son el resultado de la división de los números no enteros entre el número base (diez)o múltiplos del mismo. Los números decimales son aquellas fracciones divisibles entre diez, con la característica de ser infinita.
Los números decimales se escriben a la derecha de la marca de enteros y pueden ser expresados como fracciones con denominador 10 (diez)o sus múltiplos. Tenemos así que:
0, 25 = \cfrac{25}{100}
0, 245362 = \cfrac{245_{.} 362}{1_{_{1}} 000_{.}000}
El conjunto de los decimales, notado D, está incluido en el de los racionales, Q.
La pregunta natural es entonces: ¿cómo saber si un número racional es decimal?
Todo número racional se puede escribir como fracción irreductible: r = a/b, con a y b sin factor común, o sea con su mayor común divisor igual a 1: mcd(a, b) = 1.
La regla es la siguiente:
Un racional es decimal si y sólo si el denominador de su fracción irreductible es de la forma 2n·5p ( n y p enteros).
Ejemplos: son decimales:
\cfrac{1}{2} \, , \; \cfrac{1}{4} \, , \; \cfrac{1}{5} \, , \; \cfrac{1}{8} \; y \; \cfrac{1}{10} \, .
pero no:
\cfrac{1}{3} \, , \; \cfrac{1}{6} \, , \; \cfrac{1}{7} \; ni \; \cfrac{1}{9} \, .
La fracción:
a = \cfrac{19_{_{2}} 548_{.} 554_{_{1}} 523_{.}487}{1_{.} 280}
lo es porque a es ya una fracción irreductible y:
1_{.} 280 = 2^8 \cdot 5
y la fracción:
b = \cfrac{987_{_{1}} 654_{.} 320}{ 3_{_{1}} 000_{.} 000}
no lo es porque no hay manera de hacer desaparecer el factor 3 que tiene el denominador; la fracción irreductible también lo tendrá porque el numerador no es divisible por 3 (ver loscriterios de divisibilidad)




Regla de tres:



La regla de tres es una forma de resolución de problemas de proporcionalidad entre tres o más valores conocidos y una incógnita. En ella se establece una relación de linealidad (proporcionalidad) entre los valores involucrados.
La regla de tres más conocida es la regla de tres simple directa, si bien resulta muy práctico conocer la regla de tres simple inversa y la regla de tres compuesta, pues son de sencillo manejo y pueden utilizarse para la resolución de problemas cotidianos de manera efectiva.

regla de tres simple:
En la regla de tres simple, se establece la relación de proporcionalidad entre dos valores conocidos A y B, y conociendo un tercer valor X, calculamos un cuarto valor Y,
\begin{array}{ccc} A & \longrightarrow & B \\ X & \longrightarrow & Y \end{array}
La relación de proporcionalidad puede ser directa o inversa, será directa cuando a un mayor valor de A habla un mayor valor de B, y será inversa, cuando se dé que, a un mayor valor deA corresponda un menor valor de B, veamos cada uno de esos casos.

regla de tres simple directa:
La regla de tres simple directa se fundamenta en una relación de proporcionalidad, la regla de tres establece una relación de proporcionalidad, por lo que rápidamente se observa que:
\frac{B}{A} = \frac{Y}{X} = k
Donde k es la constante de proporcionalidad, para que esta proporcionalidad se cumpla tenemos que a un aumento de A le corresponde un aumento de B en la misma proporción. Que podemos representar:
\left . \begin{array}{ccc} A & \longrightarrow & B \\ X & \longrightarrow & Y \end{array} \right \} \rightarrow \quad Y = \cfrac{B \cdot X}{A}
y diremos que: A es a B directamente, como X es a Y, siendo Y igual al producto de B por X dividido entre A.
Imaginemos que se nos plantea lo siguiente:

regla de tres inversa:

En la regla de tres simple inversa en la relación entre los valores se cumple que:
A \cdot B = X \cdot Y = e
donde e es un producto constante, para que esta constante se conserve, tendremos que un aumento de A, necesitara una disminución deB, para que su producto permanezca constante, si representamos la regla de tres simple inversa, tendremos:
\left . \begin{array}{ccc} A & \longrightarrow & B \\ X & \longrightarrow & Y \end{array} \right \} \rightarrow \quad Y = \cfrac{A \cdot B}{X}

regla de tres compuesta:
En ocasiones el problema planteado involucra más de tres cantidades conocidas, además de la desconocida.



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